Каква е границата на функция

В тази публикация ще разгледаме една от основните концепции на математическия анализ – границата на функция: нейната дефиниция, както и различни решения с практически примери.

Определяне на лимит на функция

Ограничение на функцията – стойността, към която клони стойността на тази функция, когато нейният аргумент клони към граничната точка.

Ограничен запис:

• ограничението се обозначава с иконата Лим;
• отдолу се добавя към каква стойност клони аргументът (променливата) на функцията. Обикновено това x, но не е задължително, например:x→1″;
• тогава самата функция се добавя отдясно, например:

  

Така крайният запис на лимита изглежда така (в нашия случай):

Чете като „граница на функцията, когато x клони към единица“.

x→ 1 – това означава, че „x“ последователно приема стойности, които безкрайно се приближават до единството, но никога няма да съвпаднат с него (няма да бъдат достигнати).

Граници на решението

С даден номер

Нека решим горната граница. За да направите това, просто заменете единицата във функцията (тъй като x→1):

По този начин, за да решим границата, първо се опитваме просто да заместим даденото число във функцията под него (ако x клони към определено число).

С безкрайност

В този случай аргументът на функцията нараства безкрайно, т.е. "Х" клони към безкрайност (∞). Например:

If x→∞, тогава дадената функция клони към минус безкрайност (-∞), защото:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.н.

Друг по-сложен пример

За да решите тази граница, просто увеличете стойностите x и погледнете „поведението“ на функцията в този случай.

• RџSЂRo x = 1, у = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, у = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, у = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

По този начин, за "Х"клоняща към безкрайност, функцията x² +3x –6 расте безкрайно.

С несигурност (x клони към безкрайност)

В този случай говорим за граници, когато функцията е дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. При което "Х" клони към безкрайност.

Пример: нека изчислим границата по-долу.

Решение

Изразите както в числителя, така и в знаменателя клонят към безкрайност. Може да се предположи, че в този случай решението ще бъде следното:

Въпреки това, не всичко е толкова просто. За да разрешим ограничението, трябва да направим следното:

1. Намерете x на най-високата степен за числителя (в нашия случай това е две).

2. По същия начин определяме x на най-висока степен за знаменателя (също е равно на две).

3. Сега разделяме и числителя, и знаменателя на x в старша степен. При нас и в двата случая – във втория, но ако са различни, трябва да вземем най-високата степен.

4. В получения резултат всички дроби клонят към нула, следователно отговорът е 1/2.

С несигурност (x клони към определено число)

И числителят, и знаменателят са полиноми, но "Х" клони към определено число, а не към безкрайност.

В този случай условно затваряме очите си за факта, че знаменателят е нула.

Пример: Нека намерим границата на функцията по-долу.

Решение

1. Първо, нека заместим числото 1 във функцията, към която "Х". Получаваме несигурността на формата, която разглеждаме.

2. След това разлагаме числителя и знаменателя на множители. За да направите това, можете да използвате формулите за съкратено умножение, ако са подходящи, или.

В нашия случай корените на израза в числителя (2x² – 5x + 3 = 0) са числата 1 и 1,5. Следователно тя може да бъде представена като: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменател (x–1) първоначално е проста.

3. Получаваме такъв модифициран лимит:

4. Дробта може да бъде намалена с (x–1):

5. Остава само да замените числото 1 в израза, получен под границата: