Съдържание
В тази публикация ще разгледаме една от класическите теореми на афинната геометрия - теоремата на Чева, която получи такова име в чест на италианския инженер Джовани Чева. Ще анализираме и пример за решаване на проблема, за да консолидираме представения материал.
Изложение на теоремата
Даден триъгълник ABC, в който всеки връх е свързан с точка от противоположната страна.
Така получаваме три сегмента (AA ', BB ' и CC '), които се наричат cevians.
Тези сегменти се пресичат в една точка тогава и само ако е изпълнено следното равенство:
|И'| |НЕ'| |CB'| = |Пр.н.е.| |SHIFT'| |AB '|
Теоремата може да се представи и в следния вид (определя се в какво отношение точките разделят страните):
Тригонометричната теорема на Сева
Забележка: всички ъгли са ориентирани.
Пример за проблем
Даден триъгълник ABC с точки ДА СЕ', Б ' и ° С ' отстрани BC, AC и AB, съответно. Върховете на триъгълника са свързани с дадените точки, а образуваните отсечки минават през една точка. В същото време точките ДА СЕ' и Б ' взети в средните точки на съответните противоположни страни. Разберете в какво съотношение точката ° С ' разделя страната AB.
Решение
Нека начертаем чертеж според условията на задачата. За наше удобство приемаме следната нотация:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Остава само да се състави съотношението на сегментите според теоремата на Ceva и да се замени приетата нотация в него:
След намаляване на дробите получаваме:
Следователно, AC' = C'B, т.е. точка ° С ' разделя страната AB на половина.
Следователно в нашия триъгълник сегментите AA ', BB ' и CC ' са медиани. След като решихме задачата, доказахме, че те се пресичат в една точка (валидно за всеки триъгълник).
Забележка: използвайки теоремата на Ceva, може да се докаже, че в триъгълник в една точка ъглополовящите или височините също се пресичат.