Тъждествени трансформации на изрази

В тази публикация ще разгледаме основните типове идентични трансформации на алгебрични изрази, като ги придружим с формули и примери, за да демонстрираме приложението им на практика. Целта на такива трансформации е да се замени оригиналният израз с идентично равен.

Пренареждане на термини и фактори

Във всяка сума можете да пренаредите условията.

a + b = b + a

Във всеки продукт можете да пренаредите факторите.

a ⋅ b = b ⋅ a

примери:

• 1 2 + 2 = 1 + XNUMX XNUMX
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Условия за групиране (множители)

Ако в сумата има повече от 2 члена, те могат да бъдат групирани в скоби. Ако е необходимо, можете първо да ги размените.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

В продукта можете също да групирате факторите.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

примери:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Събиране, изваждане, умножение или деление с едно и също число

Ако едно и също число се добави или извади към двете части на самоличността, то остава вярно.

If a + b = c + dслед това (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Освен това равенството няма да бъде нарушено, ако и двете му части се умножат или разделят на едно и също число.

If a + b = c + dслед това (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

примери:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Замяна на разлика със сума (често продукт)

Всяка разлика може да бъде представена като сбор от термини.

a – b = a + (-b)

Същият трик може да се приложи и при разделяне, т.е. да се замени често с продукт.

a : b = a ⋅ b^-1

примери:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Извършване на аритметични операции

Можете да опростите математически израз (понякога значително) чрез извършване на аритметични операции (събиране, изваждане, умножение и деление), като вземете предвид общоприетите ред за изпълнение:

• първо повдигаме на степен, изваждаме корените, изчисляваме логаритми, тригонометрични и други функции;
• след това изпълняваме действията в скоби;
• накрая – отляво надясно, изпълнете останалите действия. Умножението и делението имат предимство пред събирането и изваждането. Това важи и за изразите в скоби.

примери:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Разширяване на скобата

Скобите в аритметичен израз могат да бъдат премахнати. Това действие се извършва според определени - в зависимост от това кои знаци ("плюс", "минус", "умножение" или "деление") са преди или след скобите.

примери:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4 – 6) = 18: 4-18: 6

Поставяне в скоби на общия фактор

Ако всички членове в израза имат общ множител, той може да бъде изваден от скоби, в които ще останат членовете, разделени на този множител. Тази техника се прилага и за буквални променливи.

примери:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Приложение на формули за съкратено умножение

Можете също да използвате за извършване на идентични трансформации на алгебрични изрази.

примери:

• (31 4 + XNUMX XNUMX)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627