Съдържание
В тази публикация ще разгледаме определението за ранг на матрица, както и методите, по които тя може да бъде намерена. Ще анализираме и примери, за да демонстрираме приложението на теорията на практика.
Определяне на ранга на матрица
Ранг на матрицата е рангът на неговата система от редове или колони. Всяка матрица има своите рангове на ред и колона, които са равни един на друг.
Ранг по редова система е максималният брой линейно независими редове. Рангът на колонната система се определя по подобен начин.
Забележки:
- Рангът на нулевата матрица (обозначена със символа „θ“) от произволен размер е нула.
- Рангът на всеки ненулев вектор на ред или вектор на колона е равен на единица.
- Ако матрица с произволен размер съдържа поне един елемент, който не е равен на нула, тогава нейният ранг е не по-малък от единица.
- Рангът на матрицата не е по-голям от нейния минимален размер.
- Елементарните трансформации, извършени върху матрица, не променят нейния ранг.
Намиране на ранга на матрица
Метод на фрингинг минор
Рангът на матрица е равен на максималния ред на ненула.
Алгоритъмът е следният: намерете второстепенните от най-ниските до най-високите степени. Ако е незначителен nредът не е равен на нула и всички следващи (n + 1) са равни на 0, така че рангът на матрицата е n.
Пример
За да стане по-ясно, нека да вземем практически пример и да намерим ранга на матрицата A по-долу, използвайки метода на граничещи непълнолетни.
Решение
Имаме работа с матрица 4 × 4, следователно нейният ранг не може да бъде по-висок от 4. Освен това в матрицата има ненулеви елементи, което означава, че нейният ранг не е по-малък от единица. И така, нека да започнем:
1. Започнете да проверявате непълнолетни от втори ред. Като начало вземаме два реда от първата и втората колона.
Минор е равен на нула.
Затова преминаваме към следващия второстепенен (първата колона остава и вместо втората вземаме третата).
Малката е 54≠0, така че рангът на матрицата е поне две.
Забележка: Ако този минор се окаже равен на нула, ще проверим допълнително следните комбинации:
Ако е необходимо, изброяването може да продължи по същия начин с низове:
- 1 и 3;
- 1 и 4;
- 2 и 3;
- 2 и 4;
- 3 и 4.
Ако всички минори от втори ред бяха равни на нула, тогава рангът на матрицата би бил равен на единица.
2. Почти веднага успяхме да намерим непълнолетен, който ни подхожда. Така че нека да преминем към непълнолетни от трети ред.
Към намерения минор от втори ред, дал ненулев резултат, добавяме един ред и една от колоните, осветени в зелено (започваме от втората).
Минорът се оказа нула.
Затова променяме втората колона на четвъртата. И при втория опит успяваме да намерим минор, който не е равен на нула, което означава, че рангът на матрицата не може да бъде по-малък от 3.
Забележка: ако резултатът отново се окаже нула, вместо втория ред, ще вземем четвъртия по-нататък и ще продължим търсенето на „добър“ минор.
3. Сега остава да се определи непълнолетни от четвърти ред въз основа на това, което беше открито по-рано. В този случай това е тази, която съвпада с детерминантата на матрицата.
Минор е равен на 144≠0. Това означава, че рангът на матрицата A равно на 4.
Намаляване на матрица до стъпаловидна форма
Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове. Тоест всичко, което трябва да направим, е да приведем матрицата в подходящ вид, например с помощта на , които, както споменахме по-горе, не променят нейния ранг.
Пример
Намерете ранга на матрица B По-долу. Ние не вземаме прекалено сложен пример, защото основната ни цел е просто да демонстрираме приложението на метода на практика.
Решение
1. Първо извадете удвоения първи от втория ред.
2. Сега извадете първия ред от третия ред, умножено по четири.
По този начин получихме стъпкова матрица, в която броят на ненулевите редове е равен на две, следователно нейният ранг също е равен на 2.