В тази публикация ще разгледаме една от основните теореми на евклидовата геометрия - теоремата на Стюарт, която получи такова име в чест на английския математик М. Стюарт, който я доказа. Също така ще анализираме подробно пример за решаване на проблема, за да консолидираме представения материал.
Изложение на теоремата
Дан триъгълник ABC. До него AC взета точка D, който е свързан с върха B. Ние приемаме следната нотация:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = и
За този триъгълник е вярно равенството:
Приложение на теоремата
От теоремата на Стюарт могат да се изведат формули за намиране на медианите и ъглополовящите на триъгълник:
1. Дължината на ъглополовящата
Нека lc е ъглополовящата, начертана отстрани c, който е разделен на сегменти x и y. Нека вземем другите две страни на триъгълника като a и b… В такъв случай:
2. Средна дължина
Нека mc е медианата обърната надолу настрани c. Нека означим другите две страни на триъгълника като a и b… Тогава:
Пример за проблем
Даден триъгълник ABC. На страната AC равен на 9 cm, взета точка D, която разделя страната така, че AD два пъти по-дълго DC. Дължината на сегмента, свързващ върха B и точка D, е 5 см. В този случай образуваният триъгълник САЩ е равнобедрен. Намерете останалите страни на триъгълника ABC.
Решение
Нека изобразим условията на проблема под формата на чертеж.
AC = AD + DC = 9 см. AD вече DC два пъти, т.е AD = 2DC.
Следователно 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Така, DC = 3 см, AD = 6 см.
Защото триъгълник САЩ – равнобедрен, и страна AD е 6 см, значи са равни AB и BDIe AB = 5 см.
Остава само да се намери BC, извеждайки формулата от теоремата на Стюарт:
Ние заместваме известните стойности в този израз:
По този начин, BC = √52 ≈ 7,21 см.