Теорема на Стюарт: формулировка и пример с решение

В тази публикация ще разгледаме една от основните теореми на евклидовата геометрия - теоремата на Стюарт, която получи такова име в чест на английския математик М. Стюарт, който я доказа. Също така ще анализираме подробно пример за решаване на проблема, за да консолидираме представения материал.

съдържание

Изложение на теоремата

Дан триъгълник ABC. До него AC взета точка D, който е свързан с върха B. Ние приемаме следната нотация:

  • AB = a
  • BC = b
  • BD = p
  • AD = x
  • DC = и

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

За този триъгълник е вярно равенството:

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

Приложение на теоремата

От теоремата на Стюарт могат да се изведат формули за намиране на медианите и ъглополовящите на триъгълник:

1. Дължината на ъглополовящата

Нека lc е ъглополовящата, начертана отстрани c, който е разделен на сегменти x и y. Нека вземем другите две страни на триъгълника като a и b… В такъв случай:

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

2. Средна дължина

Нека mc е медианата обърната надолу настрани c. Нека означим другите две страни на триъгълника като a и b… Тогава:

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

Пример за проблем

Даден триъгълник ABC. На страната AC равен на 9 cm, взета точка D, която разделя страната така, че AD два пъти по-дълго DC. Дължината на сегмента, свързващ върха B и точка D, е 5 см. В този случай образуваният триъгълник САЩ е равнобедрен. Намерете останалите страни на триъгълника ABC.

Решение

Нека изобразим условията на проблема под формата на чертеж.

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

AC = AD + DC = 9 см. AD вече DC два пъти, т.е AD = 2DC.

Следователно 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Така, DC = 3 см, AD = 6 см.

Защото триъгълник САЩ – равнобедрен, и страна AD е 6 см, значи са равни AB и BDIe AB = 5 см.

Остава само да се намери BC, извеждайки формулата от теоремата на Стюарт:

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

Ние заместваме известните стойности в този израз:

Теорема на Стюартс: формулировка и пример с решение

По този начин, BC = √‎52 ≈ 7,21 см.

Оставете коментар