Метод на Гаус за решение на SLAE

В тази публикация ще разгледаме какво представлява методът на Гаус, защо е необходим и какъв е неговият принцип. Също така ще демонстрираме с помощта на практически пример как методът може да се приложи за решаване на система от линейни уравнения.

Описание на метода на Гаус

Метод на Гаус е класическият метод за последователно елиминиране на променливите, използвани за решаване. Носи името на немския математик Карл Фридрих Гаус (1777-1885).

Но първо, нека си припомним, че SLAU може:

• има едно единствено решение;
• имат безкраен брой решения;
• да са несъвместими, т.е. да нямат решения.

Практически ползи

Методът на Гаус е чудесен начин за решаване на SLAE, който включва повече от три линейни уравнения, както и системи, които не са квадратни.

Принцип на метода на Гаус

Методът включва следните стъпки:

1. прав – разширената матрица, съответстваща на системата от уравнения, се редуцира по пътя над редовете до горната триъгълна (стъпаловидна) форма, т.е. под главния диагонал трябва да има само елементи, равни на нула.
2. обратно – в получената матрица елементите над главния диагонал също са нулирани (долен триъгълен изглед).

Пример за решение на SLAE

Нека решим системата от линейни уравнения по-долу, използвайки метода на Гаус.

Решение

1. Като начало представяме SLAE под формата на разширена матрица.

2. Сега нашата задача е да нулираме всички елементи под главния диагонал. По-нататъшните действия зависят от конкретната матрица, по-долу ще опишем тези, които се отнасят за нашия случай. Първо разменяме редовете, като по този начин поставяме първите им елементи във възходящ ред.

3. От втория ред извадете два пъти първия, а от третия – утроете първия.

4. Добавете втория ред към третия ред.

5. Извадете втория ред от първия ред и в същото време разделете третия ред на -10.

6. Първият етап е завършен. Сега трябва да вземем нулевите елементи над главния диагонал. За да направите това, извадете третия, умножен по 7, от първия ред и добавете третия, умножен по 5, към втория.

7. Крайната разширена матрица изглежда така:

8. Съответства на системата от уравнения:

Отговор: корен SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.