Линейни зависими и независими редове: определение, примери

В тази публикация ще разгледаме какво е линейна комбинация от низове, линейно зависими и независими низове. Ще дадем и примери за по-добро разбиране на теоретичния материал.

Дефиниране на линейна комбинация от низове

Линейна комбинация (LK) срок s₁с₂, …, с_n матрица A нарича израз със следната форма:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Ако всички коефициенти α_i са равни на нула, така че LC е тривиален. С други думи, тривиалната линейна комбинация е равна на нулевия ред.

Например: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Съответно, ако поне един от коефициентите α_i не е равно на нула, тогава LC е нетривиален.

Например: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Линейно зависими и независими редове

Струнната система е линейно зависими (LZ), ако има нетривиална линейна комбинация от тях, която е равна на нулевата линия.

Оттук следва, че нетривиален LC може в някои случаи да бъде равен на нулевия низ.

Струнната система е линейно независими (LNZ), ако само тривиалният LC е равен на нулевия низ.

Забележки:

• В квадратна матрица системата от редове е LZ само ако детерминантата на тази матрица е нула (- = 0).
• В квадратна матрица системата от редове е LIS само ако детерминантата на тази матрица не е равна на нула (- ≠ 0).

Пример за проблем

Нека да разберем дали низовата система е {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} линейно зависими.

Решение:

1. Първо, нека направим LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Сега нека разберем какви стойности трябва да приемаме α₁ и α₂така че линейната комбинация да е равна на нулевия низ.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Нека съставим система от уравнения:

4. Разделете първото уравнение на три, второто на четири:

5. Решението на тази система е всяко α₁ и α₂, С α₁ = -3а₂.

Например, ако α₂ = 2след това α₁ =-6. Заменяме тези стойности в системата от уравнения по-горе и получаваме:

Отговор: така че линиите s₁ и s₂ линейно зависими.