Свойства на височина на правоъгълен триъгълник

В тази публикация ще разгледаме основните свойства на височината в правоъгълен триъгълник и ще анализираме примери за решаване на проблеми по тази тема.

Забележка: триъгълникът се нарича правоъгълен, ако единият му ъгъл е прав (равен на 90°), а другите два са остри (<90°).

Свойства на височина в правоъгълен триъгълник

Имот 1

Правоъгълният триъгълник има две височини (h₁ и h₂) съвпадат с неговите крака.

трета височина (h₃) се спуска към хипотенузата от прав ъгъл.

Имот 2

Ортоцентърът (пресечната точка на височините) на правоъгълен триъгълник е във върха на правия ъгъл.

Имот 3

Височината в правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, го разделя на два подобни правоъгълни триъгълника, които също са подобни на оригиналния.

1. △САЩ ~ △ABC под два равни ъгъла: ∠ADB = ∠LAC (прави линии), ∠САЩ = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC под два равни ъгъла: ∠ADC = ∠LAC (прави линии), ∠ACD = ∠ACB.

3. △САЩ ~ △ADC под два равни ъгъла: ∠САЩ = ∠КПР, ∠BAD = ∠ACD.

Доказателство: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). В същото време ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Следователно, ∠BAD = ∠ACD.

По подобен начин може да се докаже, че ∠САЩ = ∠КПР.

Имот 4

В правоъгълен триъгълник височината, начертана към хипотенузата, се изчислява, както следва:

1. Чрез сегменти на хипотенузата, образуван в резултат на разделянето му от основата на височината:

2. През дължините на страните на триъгълника:

Тази формула е получена от Свойства на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник (синусът на ъгъла е равен на съотношението на срещуположния крак към хипотенузата):

Забележка: към правоъгълен триъгълник се прилагат и общите свойства на височината, представени в нашата публикация.

Пример за проблем

Задача 1

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е разделена от прекараната към нея височина на отсечки 5 и 13 cm. Намерете дължината на тази височина.

Решение

Нека използваме първата формула, представена в Имот 4:

Задача 2

Катетите на правоъгълен триъгълник са 9 и 12 cm. Намерете дължината на надморската височина, начертана към хипотенузата.

Решение

Първо, нека намерим дължината на хипотенузата (нека катетите на триъгълника са "да се" и "Б", а хипотенузата е "срещу"):

c² = А² + b² = 9² + 12² = 225.

Следователно с = 15 см.

Сега можем да приложим втората формула от Свойства 4обсъдено по-горе: