Повдигане на комплексно число на естествена степен

В тази публикация ще разгледаме как едно комплексно число може да бъде повдигнато на степен (включително с помощта на формулата на De Moivre). Теоретичният материал е придружен с примери за по-добро разбиране.

Повдигане на комплексно число на степен

Първо, не забравяйте, че комплексното число има обща форма: z = a + bi (алгебрична форма).

Сега можем да продължим директно към решението на проблема.

Квадратно число

Можем да представим степента като продукт на същите фактори и след това да намерим техния продукт (като помним това i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Пример 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Можете също така да използвате, а именно квадрата на сумата:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Забележка: По същия начин при необходимост могат да се получат формули за квадрат на разликата, куб на сбор / разлика и др.

N-та степен

Повдигнете комплексно число z в натура n много по-лесно, ако се представи в тригонометрична форма.

Спомнете си, че като цяло записът на число изглежда така: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

За степенуване можете да използвате Формулата на Де Моавър (наречено така на английския математик Ейбрахам де Моавър):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формулата се получава чрез записване в тригонометрична форма (модулите се умножават, а аргументите се събират).

Пример 2

Повдигнете комплексно число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) до осма степен.

Решение

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).