Извличане на корен от комплексно число

В тази публикация ще разгледаме как можете да вземете корен от комплексно число и също как това може да помогне при решаването на квадратни уравнения, чийто дискриминант е по-малък от нула.

Извличане на корен от комплексно число

Корен квадратен

Както знаем, невъзможно е да се извади корен от отрицателно реално число. Но когато става въпрос за комплексни числа, това действие може да се извърши. Нека да го разберем.

Да кажем, че имаме номер z = -9. Форум √-9 има два корена:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Нека проверим получените резултати чрез решаване на уравнението z² =-9, като не забравяме това i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Така ние го доказахме -3i и 3i са корени √-9.

Коренът на отрицателно число обикновено се записва така:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i и т.н.

Корен на степен n

Да предположим, че са ни дадени уравнения от вида z = ⁿ√w… То има n корени (z₀, Or₁, Or₂,…, z_п-1), което може да се изчисли с помощта на формулата по-долу:

|w| е модулът на комплексно число w;

φ – неговият аргумент

k е параметър, който приема стойностите: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратни уравнения с комплексни корени

Извличането на корен от отрицателно число променя обичайната представа за uXNUMXbuXNUMXb. Ако дискриминантът (D) е по-малко от нула, тогава не може да има реални корени, но те могат да бъдат представени като комплексни числа.

Пример

Нека решим уравнението x² – 8x + 20 = 0.

Решение

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, но все още можем да вземем корена на отрицателния дискриминант:

√D = √-16 = ±4i

Сега можем да изчислим корените:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Следователно уравнението x² – 8x + 20 = 0 има два комплексно спрегнати корена:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i