Малката теорема на Ферма

В тази публикация ще разгледаме една от основните теореми в теорията на целите числа –  Малката теорема на Фермана името на френския математик Пиер дьо Ферма. Ще анализираме и пример за решаване на проблема, за да консолидираме представения материал.

Изложение на теоремата

1. Първоначално

If p е просто число a е цяло число, което не се дели на pслед това a^р-1 - 1 , разделена на p.

Формално се пише така: a^р-1 ≡ 1 (срещу p).

Забележка: Простото число е естествено число, което се дели само на XNUMX и самото себе си без остатък.

Например:

• a = 2
• p = 5
• a^р-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• брой 15 , разделена на 5 без остатък.

2. Алтернатива

If p е просто число, a всяко цяло число, тогава a^p сравним с a модул p.

a^p ≡ а (срещу p)

История на намирането на доказателства

Пиер дьо Ферма формулира теоремата през 1640 г., но не я доказва сам. По-късно това е направено от Готфрид Вилхелм Лайбниц, немски философ, логик, математик и др. Смята се, че той вече е имал доказателството през 1683 г., въпреки че никога не е било публикувано. Трябва да се отбележи, че Лайбниц сам открива теоремата, без да знае, че тя вече е била формулирана по-рано.

Първото доказателство на теоремата е публикувано през 1736 г. и принадлежи на швейцарския, немски и математик и механик Леонхард Ойлер. Малката теорема на Ферма е специален случай на теоремата на Ойлер.

Пример за проблем

Намерете остатъка от число 2¹² on 12.

Решение

Нека си представим число 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 е просто число, следователно, чрез малката теорема на Ферма получаваме:

2¹¹ ≡ 2 (срещу 11).

Следователно, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (срещу 11).

Така че числото 2¹² , разделена на 12 с остатък равен на 4.