Намиране на обратната матрица

В тази публикация ще разгледаме какво е обратна матрица, а също така, използвайки практически пример, ще анализираме как тя може да бъде намерена с помощта на специална формула и алгоритъм за последователни действия.

Дефиниция на обратна матрица

Първо, нека си припомним какво представляват реципрочните величини в математиката. Да кажем, че имаме числото 7. Тогава обратното му ще бъде 7^-1 or ¹/₇. Ако умножите тези числа, резултатът ще бъде едно, т.е. 7 7^-1 = 1.

Почти същото е и с матриците. Обратни се нарича такава матрица, умножавайки която по оригиналната, получаваме идентичността. Тя е етикетирана като A^-1.

А · А^-1 =E

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

За да намерите обратната матрица, трябва да можете да изчислявате матрици, както и да имате уменията да извършвате определени действия с тях.

Веднага трябва да се отбележи, че обратното може да се намери само за квадратна матрица и това се прави с помощта на формулата по-долу:

|A| – матричен детерминант;

A^T_M е транспонираната матрица на алгебрични добавки.

Забележка: ако детерминантата е нула, тогава обратната матрица не съществува.

Пример

Нека намерим матрицата A по-долу е обратната му страна.

Решение

1. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица.

2. Сега нека направим матрица, която има същите размери като оригиналната:

Трябва да разберем кои числа трябва да заменят звездичките. Нека започнем с горния ляв елемент на матрицата. Минорът към него се намира като се задраскат редът и колоната, в които се намира, т. е. и в двата случая под номер едно.

Числото, което остава след зачертаването, е търсеният минор, т.е M₁₁ = 8.

По същия начин намираме минорите за останалите елементи на матрицата и получаваме следния резултат.

3. Дефинираме матрицата на алгебричните добавки. Как да ги изчислим за всеки елемент, разгледахме отделно.

Например за елемент a₁₁ алгебричното добавяне се разглежда, както следва:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Извършете транспонирането на получената матрица от алгебрични добавки (т.е. разменете колоните и редовете).

5. Остава само да използваме формулата по-горе, за да намерим обратната матрица.

Можем да оставим отговора в тази форма, без да разделяме елементите на матрицата на числото 11, тъй като в този случай получаваме грозни дробни числа.

Проверка на резултата

За да сме сигурни, че сме получили обратната на оригиналната матрица, можем да намерим техния продукт, който трябва да е равен на матрицата за идентичност.

В резултат на това получихме матрицата на идентичността, което означава, че сме направили всичко правилно.