Каква е средната линия на четириъгълник

В тази публикация ще разгледаме определението и основните свойства на средните линии на изпъкнал четириъгълник по отношение на тяхната пресечна точка, връзката с диагоналите и т.н.

Забележка: По-нататък ще разглеждаме само изпъкнала фигура.

съдържание

Определяне на средна линия на четириъгълник

Отсечката, свързваща средите на противоположните страни на четириъгълника (т.е. не ги пресича), се нарича негова средна линия.

Каква е средната линия на четириъгълник

  • EF – средна линия, свързваща средните точки AB и CD; AE=EB, CF=FD.
  • GH – средна линия, разделяща средните точки BC и AD; BG=GC, AH=HD.

Свойства на средната линия на четириъгълник

Имот 1

Средните линии на четириъгълника се пресичат и разполовяват в точката на пресичане.

Каква е средната линия на четириъгълник

  • EF и GH (средни линии) се пресичат в точка O;
  • EO=OF, GO=OH.

Забележка: Точка O is центроид (или барицентър) четириъгълник.

Имот 2

Пресечната точка на средните линии на четириъгълника е средата на отсечката, свързваща средите на неговите диагонали.

Каква е средната линия на четириъгълник

  • K – средата на диагонала AC;
  • L – средата на диагонала BD;
  • KL минава през точка O, свързване K и L.

Имот 3

Средите на страните на четириъгълник са върховете на успоредник, т.нар. Успоредник на Вариньон.

Каква е средната линия на четириъгълник

Центърът на така образувания успоредник и пресечната точка на неговите диагонали е средата на средните линии на първоначалния четириъгълник, т.е. тяхната пресечна точка O.

Забележка: Площта на успоредник е половината от площта на четириъгълник.

Имот 4

Ако ъглите между диагоналите на четириъгълник и неговата средна линия са равни, тогава диагоналите имат еднаква дължина.

Каква е средната линия на четириъгълник

  • EF – средна линия;
  • AC и BD – диагонали;
  • ∠ELC = ∠BMF = a, Следователно AC=BD. 

Имот 5

Средната линия на четириъгълник е по-малка или равна на половината от сбора на неговите непресичащи се страни (при условие, че тези страни са успоредни).

Каква е средната линия на четириъгълник

EF – средна линия, която не се пресича със страните AD и BC.

С други думи, средната линия на четириъгълник е равна на половината от сбора на страните, които не го пресичат, тогава и само ако даденият четириъгълник е трапец. В този случай разглежданите страни са основите на фигурата.

Имот 6

За средния вектор на произволен четириъгълник е в сила следното равенство:

Каква е средната линия на четириъгълник

Каква е средната линия на четириъгълник

Оставете коментар