Кръстосано произведение на вектори

В тази публикация ще разгледаме как да намерим кръстосаното произведение на два вектора, да дадем геометрична интерпретация, алгебрична формула и свойства на това действие, както и да анализираме пример за решаване на проблема.

Геометрична интерпретация

Векторно произведение на два ненулеви вектора a и b е вектор c, което се означава като [a, b] or a x b.

Дължина на вектора c е равна на площта на успоредника, конструиран с помощта на векторите a и b.

В такъв случай, c перпендикулярни на равнината, в която се намират a и b, и е разположен така, че най-малкото въртене от a к b се извършва обратно на часовниковата стрелка (от гледна точка на края на вектора).

Формула за кръстосани продукти

Продукт на вектори a = {a_x; да се_y,_z} i b = {b_x; б_y, б_z} се изчислява с помощта на една от формулите по-долу:

Свойства на кръстосани продукти

1. Кръстосаното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула тогава и само ако тези вектори са колинеарни.

[a, b] = 0, Ако a || b.

2. Модулът на кръстосаното произведение на два вектора е равен на площта на успоредника, образуван от тези вектори.

S_{паралелно} = |a x b|

3. Площта на триъгълник, образуван от два вектора, е равна на половината от техния векторен продукт.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектор, който е кръстосано произведение на други два вектора, е перпендикулярен на тях.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (м a) х a = a x (m b) = м (a x b)

един. (a + b) х c = a x c + b x c

Пример за проблем

Изчислете кръстосаното произведение a = {2; 4; 5} и b = {9; - две; 3}.

Решение:

Отговор: a x b = {19; 43; -42}.