Съдържание
В тази публикация ще разгледаме основните свойства на височината в равностранен (правилен) триъгълник. Ще анализираме и пример за решаване на проблем по тази тема.
Забележка: триъгълникът се нарича равностраненако всичките му страни са равни.
Свойства на височина в равностранен триъгълник
Имот 1
Всяка височина в равностранен триъгълник е едновременно ъглополовяща, медиана и перпендикулярна ъглополовяща.
- BD – височина спусната настрани AC;
- BD е медианата, която разделя страната AC наполовина, т.е AD = DC;
- BD – ъглополовяща ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
- BD е средният перпендикуляр на AC.
Имот 2
И трите височини в равностранен триъгълник имат еднаква дължина.
AE = BD = CF
Имот 3
Височините в равностранен триъгълник в ортоцентъра (точката на пресичане) се разделят в съотношение 2:1, като се брои от върха, от който са изтеглени.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Имот 4
Ортоцентърът на равностранен триъгълник е центърът на вписаната и описаната окръжност.
- R е радиусът на описаната окръжност;
- r е радиусът на вписаната окръжност;
- R = 2r (следва от Свойства 3).
Имот 5
Височината в равностранен триъгълник го разделя на два правоъгълни триъгълника с еднаква площ (еднаква площ).
S1 =S2
Три височини в равностранен триъгълник го разделят на 6 правоъгълни триъгълника с еднаква площ.
Имот 6
Познавайки дължината на страната на равностранен триъгълник, неговата височина може да се изчисли по формулата:
a е страната на триъгълника.
Пример за проблем
Радиусът на окръжност, описана около равностранен триъгълник, е 7 cm. Намерете страната на този триъгълник.
Решение
Както знаем от свойства 3 и 4, радиусът на описаната окръжност е 2/3 от височината на равностранен триъгълник (h). Следователно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Сега остава да се изчисли дължината на страната на триъгълника (изразът се извлича от формулата в Имот 6):
