Система от линейни алгебрични уравнения

В тази публикация ще разгледаме дефиницията на система от линейни алгебрични уравнения (SLAE), как изглежда, какви типове има, както и как да я представим в матрична форма, включително разширена.

Дефиниция на система от линейни уравнения

Система от линейни алгебрични уравнения (или накратко „SLAU“) е система, която най-общо изглежда така:

• m е броят на уравненията;
• n е броят на променливите.
• x₁, х₂,…, х_n – неизвестен;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – коефициенти за неизвестни;
• b₁, б₂,…, б_m – безплатни членове.

Индекси на коефициента (a_ij) се формират, както следва:

• i е номерът на линейното уравнение;
• j е номерът на променливата, към която се отнася коефициентът.

SLAU решение – такива числа c₁, C₂,…, ° С_n , в настройката на който вместо x₁, х₂,…, х_n, всички уравнения на системата ще се превърнат в идентичности.

Видове SLAU

1. хомогенен – всички свободни членове на системата са равни на нула (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Хетерогенни – ако горното условие не е изпълнено.
3. Квадрат – броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, т.е m = n.

   

4. Недостатъчно определени – броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията.

   

5. заменен Има повече уравнения, отколкото променливи.

   

В зависимост от броя на решенията, SLAE може да бъде:

1. Съвместен има поне едно решение. Освен това, ако е уникална, системата се нарича определена, ако има няколко решения, тя се нарича неопределена.

   

   Горният SLAE е съвместен, защото има поне едно решение: х = 2, y = 3.

2. несъвместимо Системата няма решения.

   

   Десните страни на уравненията са еднакви, но левите не са. Следователно няма решения.

Матрична нотация на системата

SLAE може да бъде представен в матрична форма:

AX = B

• A е матрицата, образувана от коефициентите на неизвестните:

  

• X – колона с променливи:

  

• B – колона с безплатни членове:

  

Пример

Представяме системата от уравнения по-долу в матрична форма:

Използвайки формите по-горе, съставяме основната матрица с коефициенти, колони с неизвестни и свободни членове.

Пълен запис на дадената система от уравнения в матрична форма:

Разширена SLAE матрица

Ако към матрицата на системата A добавете колона за безплатни членове вдясно B, разделяйки данните с вертикална лента, получавате разширена матрица на SLAE.

За примера по-горе изглежда така:

– обозначение на разширената матрица.